Teoria della fotorivelazione terahertz in doppi strati di grafene

1 Misura e generazione di frequenza

L’analisi dei ritmi dei fenomeni naturali è da sempre di fondamentale importanza per gli uomini e la società. In primis, razionalizzare l’alternanza delle stagioni e il moto del Sole nel cielo è stato fondamentale per programmare i lavori di semina e raccolto all’alba della rivoluzione agricola verso il finire dell’età paleolitica. Costrutti monumentali per la misurazione del tempo astronomico, prescrizioni per suddividere la volta celeste e astrazione di tali fenomeni in termini mitologici sono sostanzialmente giunti fino ai nostri giorni, a dimostrazione di quanta importanza tali studi avessero ricoperto nelle età passate. E non è difficile comprendere il perché di questa determinazione nel preservare tali conoscenze: solo i fenomeni che si ripetono possono essere oggetto di una scienza sperimentale e possono essere fondamento di una industria posta alla base del sostentamento della società. Passando dalla rivoluzione agricola dei tempi preistorici a quella industriale-meccanica di due secoli fa, notiamo un processo simile, su tempi scala più brevi, che ha come elemento cruciale l’orologio. È stato notato come “the clock, not the steam engine, is the key machine of the modern industrial age”. Infatti l’orologio meccanico, che era presente in alcune torri campanarie europee fino dal medioevo, si perfeziona nel diciassettesimo e diciottesimo secolo fino a diventare la comune pendola (capace di “perdere” solo pochi secondi a settimana) o il compatto orologio da taschino e, in seguito, da polso. In questo caso, il fenomeno da organizzare grazie ad una precisa misurazione dei ritmi di lavoro è ovviamente la produzione regimentata della fabbrica, che prende il posto del lavoro agricolo relativamente più indipendente. La realizzazione dell’orologio meccanico si basa su un concetto fondamentale: per convertire l’assenza di “ritmo” di una molla compressa (che, lasciata libera a guidare gli ingranaggi, si scaricherebbe in pochi minuti) nel ritmo necessario a scandire minuti e secondi si usa uno “scappamento”, cioè un sistema dove il moto lineare degli ingranaggi spinti dalla molla interagisce con l’oscillazione di un pendolo, che lo forza ad essere non-lineare. Di fatto, l’energia non viene più erogata in modo costante, ma secondo una funzione non-lineare del tempo, appropriata per mantenere in moto il pendolo stesso. Un secondo concetto importante è che la lunghezza ridotta del pendolo determina il periodo dell’oscillazione. Questo approccio è conveniente perché permette un controllo della dinamica del sistema attraverso la determinazione delle sue proprietà geometriche e quindi statiche, molto più facili da stabilire a priori in sede di fabbricazione.

Questi concetti trovano nuovamente applicazione a cavallo del diciannovesimo e ventesimo secolo, agli albori della rivoluzione industriale-elettrica, seguita all’operato di scienziati come Volta, Faraday e Maxwell da una parte e di “inventori” e industriali come Edison, Tesla e Marconi dall’altra. Le prime radio di Marconi sono sostanzialmente telegrafi senza fili, che trasmettono segnali prodotti dall’attivazione di potenti scintille (spinterometri) e li rivelano misurando il cambio di resistenza di elementi conduttori sensibili al campo elettromagnetico (coesori). Né l’emissione né la rivelazione del campo elettromagnetico avvengono ad una frequenza definita. È solo dopo la prima guerra mondiale che Howard Armstrong realizza un circuito elettrico in grado di oscillare a frequenze del GHz e quindi di generare onde radio continue con frequenza ben definita. In seguito, lo stesso Armstrong, con l’invenzione della ricevente supereterodina, mostra che la generazione di un impulso a frequenza definita permette di demodulare un’onda radio e di rendere udibile il segnale trasportato. La tecnologia che segue l’invenzione dell’oscillatore elettrico, si può dire, dà inizio al mondo moderno, poiché definisce il ritmo al quale l’informazione può essere trasformata e trasportata a distanze enormi, alla velocità della luce. L’invenzione degli oscillatori a frequenza GHz inizia inoltre una esplorazione dello spettro elettromagnetico che, passando dall’invenzione del maser e del laser nel secondo dopoguerra, va a coprire sostanzialmente tutte le frequenze dei fenomeni fisici dei quali abbiamo esperienza diretta, con la sola eccezione della cosidetta “banda terahertz” (THz) dove l’invenzione di emettitori e rivelatori coerenti risulta più difficoltosa. In tutti questi casi, gli insegnamenti di base del pendolo rimangono validi: una non-linearità (le valvole termoioniche nel caso dell’oscillatore di Armstrong, lo spettro atomico nel caso dei laser, eccetera) è essenziale per trasdurre l’energia di un alimentatore in un flusso oscillante; sono le caratteristiche geometriche statiche (di induttanze e resistenze, o degli stessi livelli atomici) a determinare le frequenze in gioco.

Gli esempi riportati sopra mostrano che il controllo di un sistema fisico inizia dalla capacità di generare e misurare le frequenze alle quali il sistema evolve. Per ottenere questo risultato è cruciale un processo di fabbricazione che permetta di definire le caratteristiche geometriche di un dispositivo e di ingegnerizzare delle non-linearità tra le sue componenti. Alle scale di lunghezza sub-micrometriche, negli ultimi anni sono stati raggiunti eccezionali risultati nella sintesi e manipolazione di materiali innovativi, in particolare di cristalli bidimensionali dello spessore di pochi atomi, come il grafene, la cui geometria può essere definita con precisione del nanometro. Inoltre, data la ridotta dimensionalità, le correnti di carica elettrica in questi materiali possono facilmente essere accoppiate in maniera non- lineare al campo elettromagnetico circostante. La famiglia dei materiali bidimensionali è diventata dunque una piattaforma di sviluppo ideale per realizzare oscillatori elettrici che permettano di perfezionare la rivelazione e l’emissione di radiazione elettromagnetica. In particolare, alcuni protocolli di funzionamento, come quello ideato da Dyakonov e Shur nei primi anni Novanta, sono efficaci proprio nella difficoltosa “banda Terahertz” menzionata sopra. Nel seguito di questo articolo discuteremo una trattazione teorica della fotorivelazione Dyakonov-Shur in un materiale bidimensionale composto da un doppio strato di grafene.

2 Materiali bidimensionali

Negli ultimi due decenni una nuova categoria di materiali è stata oggetto di un enorme interesse teorico e sperimentale in una vasta area di studio che spazia dalle proprietà strutturali e chimiche a quelle optoelettroniche e di trasporto di tali materiali. Si tratta dei cristalli bidimensionali, strutture planari spesse quanto uno o pochi atomi, formate da legami covalenti tra atomi di una o più specie, che si possono organizzare in strutture tridimensionali dove “fogli” adiacenti aderiscono l’uno all’altro grazie a forze di van der Waals.

Il primo di questi materiali ad essere isolato (nel 2004) e studiato in dettaglio è stato il grafene, ovvero un foglio di atomi di carbonio, la cui forma tridimensionale è la comune grafite. Si è mostrato che il grafene è un semi-metallo, ovvero un conduttore la cui conducibilità dipende fortemente dalle caratteristiche dielettriche del substrato dove viene depositato. Questo risultato segue dalla sua Hamiltoniana, approssimata attorno alla superficie di Fermi come

(1) $\hat{H} = \sum_{k,\lambda} \eta_{\lambda} \hbar v_{F} k \hat{c}_{k,\lambda}^{\dagger} \hat{c}_{k,\lambda}$,

dove $k$ è un vettore d’onda nella zone di Brillouin, $\lambda$ indica la banda di valenza e conduzione con $\eta_{\lambda}$ che vale rispettivamente –1 e +1, e gli operatori di creazione e annichilazione si riferiscono agli elettroni di valenza degli atomi di carbonio non dedicati alla formazione dei legami covalenti del reticolo. La zona di Brillouin del materiale è esagonale e questa Hamiltoniana è valida attorno ai punti di alta simmetria $K$ e $K’$. Dalla Hamiltoniana, si vede che la dispersione elettronica è conica attorno a tali punti: non vi è un gap elettronico, ma la densità degli stati va a zero.

Due fogli di grafene adiacenti possono ibridizzare i propri orbitali atomici, originando un cosiddetto doppio strato. In questo caso, la dispersione elettronica non è più conica e dipende dalla differenza di energia potenziale $\Delta$ tra lo strato superiore e quello inferiore, come segue dall’Hamiltoniana

si veda eq. 2 nel PDF

dove i due stati di base identificano elettroni rispettivamente nello strato inferiore e superiore. Gli stati elettronici, e di conseguenza la distribuzione di carica, dipendono dal valore $\Delta$ e quindi dall’intensità locale del campo elettrico ortogonale al doppio strato.

Le eccezionali ed inaspettate proprietà elettriche, ottiche e strutturali del grafene sono state il motivo originale dell’enorme interesse suscitato dai materiali bidimensionali. Negli anni successivi ai primi studi sul grafene, diverse migliaia di cristalli bidimensionali sono stati isolati e studiati, tra cui isolanti, conduttori, semiconduttori, e superconduttori. Inoltre, l’universalità delle forze di van der Waals rende possibile in generale creare delle eterostrutture formate da diversi cristalli bidimensionali alternati. Una delle etrostrutture che si è rivelata più utile consiste in uno strato di cristallo conduttore tra alcuni strati di nitruro di boro (un isolante): questa procedura di “incapsulamento” aumenta notevolemente le proprietà di conduzione del sistema e permette di creare dispositivi optoelettronici robusti, compatti e performanti.

3 Onde di plasma

La rappresentazione più tipica della risposta di un materiale conduttore ad un campo elettromagnetico esterno (ovvero ad una differenza di potenziale applicata ad una coppia di contatti) consiste in un insieme di portatori di carica che si muovono, indipendentemente, lungo la direzione definita dal campo e con un verso che dipende dalla propria carica. Questa rappresentazione (che viene chiamata “gas di elettroni non-interagenti”) ignora il fatto che i singoli portatori, proprio in virtù della carica che li rende sensibili al campo esterno, interagiscono l’uno con l’altro attraverso la forza di Coulomb. Questa descrizione della dinamica dei portatori di carica (che viene detta “liquido elettronico”) ha come naturale conseguenza che il moto di un portatore dipende dal moto di tutti gli altri portatori, ed è quindi determinato in modo non-lineare dall’intensità del campo esterno. In particolare, una conseguenza sorprendente è l’esistenza di configurazioni di carica in grado di auto-mantenersi in moto oscillatorio (con data frequenza e lunghezza d’onda) anche in assenza di un campo esterno. Tali configurazioni sono dette “modi plasmonici” e sono un particolare tipo di moto collettivo. Un sistema esteso possiede un continuo di modi plasmonici, parametrizzati da un vettore d’onda, mentre un sistema di taglia finita impone delle condizioni al bordo alle oscillazioni di carica che conducono ad uno spettro discreto, definito dalle proprietà geometriche del campione. Ovviamente, in un campione reale, un campo esterno è necessario per supportare queste oscillazioni collettive che altrimenti si smorzerebbero a causa di processi dissipativi, quali ad esempio l’effetto Joule che trasferisce l’energia del moto dei portatori alle vibrazioni reticolari che determinano la temperatura del materiale. Ciò nonostante, l’esistenza di un modo collettivo rende il sistema elettronico molto più sensibile ad un campo esterno che ne condivida frequenza e lunghezza d’onda, portando ad un effetto di risonanza.

I modi plasmonici possono essere di due tipi: non-collisionali e collisionali. Nel primo tipo, il periodo dell’oscillazione di carica è molto minore del tempo medio che intercorre tra due collisioni di un portatore di carica con qualche altro portatore. In questo caso, la frequenza del modo plasmonico in due dimensioni dipende dalla radice quadrata del suo vettore d’onda. Nel secondo tipo, invece, il liquido elettronico si trova in un regime idrodinamico, cioè analogo a quello che descrive le molecole in un fluido macroscopico. Le oscillazioni di carica possono essere considerate come “onde” in questo liquido (dette “onde di plasma”) e infatti manifestano una dipendenza lineare della frequenza dal vettore d’onda. Il regime idrodinamico è caratterizzato anche da alcune non-linearità nel processo di trasporto di carica, dovute al fatto che l’aumento della densità di carica media locale induce una diversa risposta di ogni singolo portatore al campo esterno. Matematicamente, una non-linearità è rappresentata dal prodotto tra densità $n$ e velocità $v$ che compare nell’equazione di continuità (scritta per semplicità in una dimensione)

(3) $\partial_{t} n ( x,t ) + \partial_{x} \left[ n ( x,t ) v ( x,t )\right] =0$

ed una seconda non-linearità è rappresentata dal termine convettivo che compare nell’equazione di Eulero

(4) $\partial_{t} v ( x,t ) + v ( x,t ) \partial_{x}v ( x,t ) = -eE ( x,t ) / m-v ( x,t ) /\tau$

Il termine dissipativo nel secondo membro, inversamente proporzionale al tempo di rilassamento $\tau$, parametrizza l’interazione dei portatori di carica con centri diffusori come impurezze o eccitazioni di vibrazioni reticolari (fononi). Questo termine non è presente nella forma standard dell’equazione di Eulero per fluidi macroscopici e permette di riprodurre il modello di conduzione di Drude linearizzando l’equazione per piccole velocità.

L’equazione di Eulero in un doppio strato di grafene deve essere modificata per tener conto degli effetti dell’energia potenziale $\Delta$, che compare in eq. (2). La derivata convettiva e il termine dissipativo devono essere moltiplicati per la quantità

(5) $\gamma=\sqrt{1 + \left ( \frac{m\Delta}{\hbar \pi m} \right ) ^{2}}$

che si può interpretare come una variazione relativa di pressione del liquido elettronico. Inoltre, due ulteriori termini $v\partial_{t}\gamma$ e $v\partial_{x}\gamma$ devono essere aggiunti al membro di destra in eq. (4). Questi termini riflettono il fatto che la propagazione di un’onda di plasma modifica il valore locale del campo elettrico e, di conseguenza, l’energia potenziale $\Delta$. D’altra parte, come è stato notato dopo l’eq. (2), la densità locale della carica, che determina la propagazione dell’onda stessa, dipende da $\Delta$. Questo effetto di retroazione del modo collettivo sulle proprietà del liquido elettronico che supporta il modo stesso si traduce matematicamente nella comparsa di nuovi termini non-lineari nell’equazione di Eulero.

4 Fotorivelazione di Dyakonov-Shur

Mikhail Dyakonov e Michael Shur (DS nel seguito) propongono negli anni Novanta un ingegnoso sistema di fotorivelazione che sfrutta la propagazione delle onde di plasma all’interno di conduttori bidimensionali. La proposta si incentra su un transistor ad effetto di campo (si veda fig. 1), che è composto da un canale dove possono scorrere i portatori di carica; due contatti (detti source e drain) agli estremi del canale; e un elemento conduttivo parallelo al canale (detto gate) che costituisce, assieme a quest’ultimo, un condensatore. Il funzionamento del transistor si basa sull’azione elettrostatica del gate che può attrarre o respingere portatori di carica dal canale, in analogia a quanto succede tra le due armature di un condensatore. È possibile utilizzare due gate, uno superiore e uno inferiore, per sottoporre le due facce del canale a potenziali elettrici diversi. Nella proposta di DS (si veda lo schema in fig. 2), i due lobi di una antenna, che raccoglie la radiazione THz, sono connessi al source e al gate del transistor, mentre il drain è lasciato scollegato. Quando il campo elettromagnetico della radiazione incidente viene raccolto dall’antenna, tra i due lobi si genera una differenza di potenziale, che risulta quindi applicata anche tra il source e il gate del transistor. Questa differenza di potenziale genera un temporaneo accumulo (o diminuzione, a seconda del segno) di portatori di carica del canale, in prossimità del contatto di source. Come discusso sopra, l’interazione tra le cariche dei portatori induce a sua volta il movimento di altre cariche nel canale e l’instaurazione di un’onda di plasma propagante dal source verso il drain. Giunta al drain, l’onda di plasma deve necessariamente riflettersi, poiché il contatto è aperto, e invertire la propria propagazione, dirigendosi verso il source. In questo modo si stabiliscono nel canale due onde contropropaganti. A causa dei termini non-lineari presenti nell’equazione di continuità e di Eulero, le due onde interagiscono, producendo un gradiente stazionario di carica $\Delta n ( x )$ lungo il canale. A tale gradiente corrisponde una differenza di potenziale $\Delta V$ costante nel tempo tra il drain e il source che, misurata da un voltmetro, è il segnale del fotorivelatore.

La condizione di risonanza delle onde di plasma, che induce un picco nel segnale misurato, è determinata dalla lunghezza $L$ del canale e dalla densità media $\bar{n}$ dei portatori di carica. Per valori di $L$ dell’ordine di alcuni micrometri si ottengono onde risonanti a frequenze $\nu$ dell’ordine del THz. Inoltre, agendo sul gate e variando $\bar{n}$, si può variare la frequenza di risonanza. Data la relativa scarsezza di metodi di rivelazione nella “banda THz” a temperatura ambiente, il sistema DS ha suscitato notevole interesse teorico e sperimentale nel corso degli anni ed è stato applicato anche a transistor dove il canale è composto da grafene o da un doppio strato di grafene. I campioni usati in questi primi esperimenti sono tali che il moto dei portatori nel canale è significativamente ostacolato da impurezze e fononi (in questo regime il valore di $1/\tau$ in eq. (4) è molto più piccolo di $\nu$). L’interazione tra le onde di plasma risulta ridotta e il segnale del fotorivelatore dipende debolmente da $\nu$ (o, equivalentemente, da $\bar{n}$), senza mostrare risonanze. Un esperimento più recente, utilizzando un doppio strato di grafene incapsulato in nitruro di boro, ha finalmente raggiunto il regime risonante, in cui il segnale del fotorivelatore possiede una sequenza ben definita di massimi e minimi, distanziati da multipli della frequenza $\nu_{p} = s/ ( 4 L )$, dove $s$ è la velocità delle onde di plasma nel canale. La teoria DS però, essendo formulata per un generico liquido elettronico, non tiene conto dello specifico accoppiamento tra le onde di plasma e l’energia potenziale $\Delta$ discussi in eq. (5) e nel paragrafo successivo. Per questo motivo, alla luce delle possibilità sperimentali dimostrate si riformula la teoria DS partendo dalla specifica struttura quantistica degli stati elettronici nel doppio strato di grafene.

Un riassunto dei risultati è riportato nella sezione seguente.

5 Fotorivelazione in un doppio strato di grafene

Un calcolo al secondo ordine nell’ampiezza delle onde di plasma rispetto alla densità media $( | n ( x ) - \bar{n}| / |\bar{n}| )$ permette di ottenere il contributo stazionario $\Delta V \propto F ( \nu )$ alla differenza di potenziale tra drain e source, in funzione della frequenza incidente $\nu$. La funzione adimensionale $F ( \nu )$ è mostrata in fig. 3 nel regime non-risonante (nero) e risonante (blu e rosso). I massimi della risonanza appaiono ai multipli dispari della frequenza $\nu_{p}$. La peculiarità del doppio strato di grafene risiede nella dipendenza dell’intensità della funzione $F ( \nu )$ dalla densità media $\bar{n}$ e dalla differenza di potenziale elettrico applicata al gate superiore ed inferiore, che risulta essere

si veda eq. 6 nel PDF

In questa espressione, il segno di apice indica la derivata rispetto alla densità di carica e la barra orizzontale indica che le funzioni sono calcolate al valore medio $\bar{n}$. La quantità $U_t = V_t - \phi_t$ è la differenza di potenziale elettrico tra il gate superiore e il foglio superiore del doppio strato. Similmente si può introdurre $U_b = V_b - \phi_b$ per la superficie inferiore del dispositivo e la somma $U = U_t + U_b$. Una trattazione auto-consistente dei processi di screening elettronico nel dispositivo porta a determinare l’energia potenziale $\Delta$ come funzione non-lineare dei potenziali elettrici imposti ai due gate e della densità di carica. Ovviamente, l’ampiezza totale del segnale dipende dall’intensità della radiazione incidente raccolta dall’antenna. Il primo rapporto in eq. (6) è mostrato in fig. 4. Si vede che la differenza di potenziale elettrico tra i due gate determina una variazione significativa nell’intensità della fotorisposta. I rimanenti due rapporti in eq. (6) possono essere espressi come una correzione alla capacità del sistema gate-grafene a causa della dipendenza di $\Delta$ da $\bar{n}$, che è di natura quantistica. Benché minori in modulo rispetto al primo rapporto, questi termini sono non-monotoni in $\bar{n}$.

In conclusione, utilizzando un transistor basato su un doppio strato di grafene, l’azione sui due potenziali di gate permette da un lato di definire la densità media di carica, e quindi la frequenza di risonanza; dall’altro, di ottimizzare l’ampiezza della fotorisposta, a seconda dei parametri specifici della geometria utilizzata. La teoria sviluppata permette quindi di trarre il massimo vantaggio dai nuovi dispositivi basati su un doppio strato incapsulato, dove l’interazione non-lineare delle onde di plasma avviene in regime risonante. Questi dispositivi si candidano quindi a diventare una piattaforma di riferimento per la fotorivelazione risolta in frequenza nella banda terahertz.